Question

已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）的顶点在直线y=-x-1上，且仅当0＜x＜4时，y＜0．设点A是抛物线与x轴的一个交点，且点A 在y轴的右侧，P为抛物线上一动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当△POA的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当cos∠OPA=时，⊙M经过点O、A、P，求过点A且与⊙M相切的直线的解析式．

Answer

（1）本题须先求出抛物线的对称轴和顶点坐标，再代入直线的解析式即可．
（2）本题须先设出P点的坐标，再表示出△POA的面积即可得x的值，再代入求出y的值，即可得出求点P的坐标．
（3）本题须先通过解直角三角形求出AB的长，从而得出点B的坐标，然后即可得出过点A且与⊙M相切的直线的解析式．
【解析】
（1）根据题意，抛物线与x轴的交点为O（0，0）、A（4，0），
所以其对称轴为x=2，
把x=2代入y=-x-1得y=-2，即抛物线顶点坐标为（2，-2）．
把（2，-2）、A（4，0）代入y=ax2+bx得
，
解得，
所求直线解析式为y=x2-2x；

（2）∵点P在抛物线上，
∴设P点的坐标为（x，x2-2x）
△POA的面积=×4×=5，
∴x2-4x-5=0或x2-4x+5=0．（无解）
解x2-4x-5=0，得x1=5，x2=-1．
当x1=5，时，y1=；x2=-1时，y2=，
所求的点P为：，P2（-1，）；

（3）∵抛物线对称轴x=2是OA的垂直平分线，
∴根据题意可知，圆心M在对称轴x=2上，
连接AM并延长交y轴于点N，
∵∠AON=90°，
∴AN为⊙M直径．
当点P在x轴上方时，
由同弧所对圆周角相等，得∠ANO=∠APO．
设过点A且与⊙M相切的直线交y轴于点B，
则∠NAB=90°．
∴∠OAB=∠ANO，
∴cos∠OAB=cos∠APO=，且OA=4．
∴Rt△AOB中，cos∠OAB==．
即=
∴AB=，OB=2．即点B的坐标为（0，-2）．
∴过点A、B与⊙M相切的直线解析式为y=x-2
当点P在x轴下方时，
∵弦OA小于⊙M的直径，
∴∠APO所对的弧是优弧．
∴∠APO是钝角，不合题意．故点P不可能在x轴的下方．
综上，过点A、B与⊙M相切的直线解析式为y=x-2．