Question

（1）观察发现

如图1，⊙O的半径为1，点P为⊙O外一点，PO=2，在⊙O上找一点M，使得PM最长．
作法如下：作射线PO交⊙O于点M，则点M就是所求的点，此时PM=______．
请说明PM最长的理由．
（2）实践运用
如图2，在等边三角形 ABC中，AB=2，以AB为斜边作直角三角形AMB，使CM最长．
作法如下：以AB为直径画⊙O，作射线CO交⊙O右侧于点M，则△AMB即为所求．请按上述方法用三角板和圆规画出图形，并求出CM的长度．
（3）拓展延伸
如图3，在周长为m的任意形状的△ABC中，分别以AB、AC为斜边作直角三角形AMB，直角三角形ANC，使得线段MN最长，用尺规画出图形，此时MN=______．（保留作图痕迹）

Answer

（1）根据PM=PO+OM即可求出PM的长；在⊙O上任取一异于点M的点M′，连接OM′，根据三角形三边关系定理得出PM=PO+OM′＞PM′；
（2）先根据作法作出△AMB，然后在直角△ACO中利用锐角三角函数求出CO=，则CM=CO+OM=+1；
（3）先分别以AB、AC为直径画⊙O、⊙P，作射线PO交⊙O左侧于点M，延长OP交⊙P右侧于点N，此时线段MN最长；由于O、P分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线定理即可求出MN=0.5m．
【解析】
（1）如图1，PM=PO+OM=2+1=3．
在⊙O上任取一异于点M的点M′，连接OM′．
在△POM′中，∵PO+OM′＞PM′，
又∵PM=PO+OM=PO+OM′，
∴PM＞PM′；

（2）如图2，
在直角△ACO中，∵∠AOC=90°，∠OAC=60°，OA=AB=1，
∴CO=OA=，
∴CM=CO+OM=+1；

（3）如图3，
∵O、P分别为AB、AC的中点，
∴OA=AB，AP=AC，OP=BC，
∴OA+AP+OP=（AB+AC+BC）=m，
∴MN=MO+OP+PN=OA+OP+AP=0.5m．
故答案为3，0.5m．