在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6）．动点P自原点O向A点运动，速度为1个单位/秒；动点Q自原点O沿折线O-B-A运动，速度为2个单位/秒；P、Q两点同时运动，设运动时间为t秒，P点到达A点时终止运动．
（1）当Q点在线段BA上运动时，请直接用t表示Q点的坐标．
（2）当t＞3时，求tan∠QPO的值．
（3）在整个运动过程中是否存在这样的t值，使得△OQP是直角三角形？如果存在，请求出t的取值范围或相应的t值；如果不存在，请说明理由．
（4）当t为何值时，△OPQ是以OQ为腰的等腰三角形？请直接写出此时的t值．
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（1）观察发现
如图1，⊙O的半径为1，点P为⊙O外一点，PO=2，在⊙O上找一点M，使得PM最长．
作法如下：作射线PO交⊙O于点M，则点M就是所求的点，此时PM=______．
请说明PM最长的理由．
（2）实践运用
如图2，在等边三角形 ABC中，AB=2，以AB为斜边作直角三角形AMB，使CM最长．
作法如下：以AB为直径画⊙O，作射线CO交⊙O右侧于点M，则△AMB即为所求．请按上述方法用三角板和圆规画出图形，并求出CM的长度．
（3）拓展延伸
如图3，在周长为m的任意形状的△ABC中，分别以AB、AC为斜边作直角三角形AMB，直角三角形ANC，使得线段MN最长，用尺规画出图形，此时MN=______．（保留作图痕迹）
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，则x应满足（ ）
