Question

如图，设⊙O的半径为8，过圆外一点P引切线PA，切点为A，PA=6，C为圆周上一动点，PC交圆于另一点B，设PC=x，PB=y，且x＞y．
（1）试求：y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（2）若时，求x的值．

Answer

（1）根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，得出PA2=PB•PC，即可代入求出，再根据PA≤x≤PE，求出PE即可；
（2）首先利用已知条件，运用锐角三角函数求出PF，再利用勾股定理求出FO，FC，进而求出PC的长．
【解析】
（1）连接AO，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∵PA=6，PC=x，PB=y，
∴36=xy，
整理得：y=
∵切线PA=6，PBC是⊙O的割线，
∴PA≤PC≤PE，
即PA≤x≤PE，
∴x≥6，
∵⊙O的半径为8，∴AO=8，
∵PA=6，
∴PO==10；
∴PE=10+8=18，
∴6≤x≤18；

（2）过点O，作OF⊥PC于一点F，连接CO，
∵，
∴cos∠OPC=，
∵PO=10，
∴=，
∴PF=8，
在Rt△PFO中，
∴FO===6，
∵CO=8，FO=6，
∴CF==2，
∴PC=x=PF+CF=8+2．