Question

如图，在△ABC中，E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，连接GE、GF，BD是AC边上的高，连接DE、DF．
（1）试判断四边形BFGE是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
（2）求证：∠EDF=∠EGF．

Answer

（1）四边形BFGE是平行四边形，由于E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，可以得到EG、GF是△ABC的中位线，然后利用中位线的性质即可证明四边形BFGE是平行四边形；
（2）由四边形BFGE是平行四边形可以得到∠ABC=∠EGF，又BD是AC边上的高，得到∠ADB=∠BDC=90°，又由E、F分别是AB、BC边的中点得到DE=BE=AB、DF=BF=BC，然后利用等腰三角形的性质即可证明题目的结论．
【解析】
（1）四边形BFGE是平行四边形，
∵E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，∴EG、GF是△ABC的中位线，
∴EG∥BC、GF∥AB，
∴四边形BFGE是平行四边形；

（2）∵四边形BFGE是平行四边形，
∴∠ABC=∠EGF（6分）
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°
又∵E、F分别是AB、BC边的中点，
∴DE=BE=AB，DF=BF=BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EDB=∠EBD，∠DBF=∠BDF（8分）
∴∠EDB+∠BDF=∠EBD+∠DBF，
∴∠EDF=∠ABC，
∴∠EDF=∠EGF（10分）．