Question

已知：如图1，点O为正方形ABCD内任一点，连接AO、BO，分别以AO、BO为一边作如图所示正方形BOMN和正方形AOFE，连接CN
（1）AE、CN之间有怎样的关系？请验证；
（2）若点O是正方形ABCD外部一点，如图2，其他条件不变（1）的结论是否成立？请验证．

Answer

（1）AE=CN，AE∥CN，理由为：连接ED，EC，AN，如图1所示，由正方形ABCD、AOFE，得到一对角为直角，两对边相等，利用同角的余角相等，利用SAS得出三角形AED与三角形AOB全等，由全等三角形对应边相等得到DE=BO，AE=CN，再由BN=BO，等量代换得到DE=BN，同理得到三角形EDC与三角形ABN全等，利用全等三角形的对应边相等得到EC=AN，利用两对对应边相等的四边形为平行四边形得到AECN为平行四边形，利用平行四边形的对应边平行且相等即可得证；
（2）AE=CN，AE∥CN，理由为：连接ED，EC，AN，如图2所示，同理即可证明．

证明：（1）AE=CN，AE∥CN，理由为：
连接ED、AN、EC，如图1所示，
∵正方形ABCD、AOFE，
∴∠DAB=∠EAO=90°，AO=AF，AD=AB，
∴∠EAD+∠DAO=90°，∠DAO+∠OAB=90°，
∴∠EAD=∠OAB，
在△AED和△ABO中，
，
∴△AED≌△ABO（SAS），
∴ED=BO，
∵BO=BN，
∴ED=BN，
同理AE=CN，
∵△AED≌△CBN，
∴∠ADE=∠CBN，
∴∠ADE+90°=∠CBN+90°，即∠EDC=∠ABN，
在△EDC和△ABN中，
，
∴△EDC≌△ABN（SAS），
∴EC=AN，
∴四边形AECN是平行四边形，
∴AE=CN，AE∥CN；
（2）结论不变，AE=CN，AE∥CN，
证明：连接ED、AN、EC，如图2所示，
同上问证明△AED≌△CBN≌△AOB，
∴AE=CN，△EDC≌△ABN，
∴AN=EC，
∴四边形AECN是平行四边形，
∴AE=CN，AE∥CN．