Question

如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．

Answer

（1）利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE；
（2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出所以S△ACE=S△ABD，进而求出所以AB=AC，得出答案．
（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，
∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE；

（2）【解析】
连接DE，
方法1：因为S△BEC=S△BCD，
S△ACE=S△ABC-S△BEC，S△ABD=S△ABC-S△BCD，
所以S△ACE=S△ABD，
又由（1）知△ABD∽△ACE，
所以对应边之比等于1，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形；

方法2：因为△BEC与△BCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等，
即E、D两点到BC的距离相等，所以ED∥BC，
∴=，
∴∠ECB=∠DBC，
又因为∠EBD=∠ECD，
所以∠ABC=∠ACB，
即△ABC为等腰三角形．