Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式；
（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．
（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．
（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：
①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；
②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx-3交y轴于点C
∴C（0，-3）则 OC=3；
∵P到x轴的距离为，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
∴P（-1，-）；
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（-2，-3）；
将点A（-2，-3），P（-1，-）代入抛物线y=ax2+bx-3中，有：
，解得
∴抛物线的表达式为y=x2+x-3．

（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；
将x=4代入y=x2+x-3中，得y=5，则 D（4，5）．
∵直线y=x+m过点D（4，5）
∴5=×4+m，则 m=2；
∴所求直线的表达式y=x+2．

（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；
设点M（x，x+2），则：OM2=x2+3x+4、FM2=x2；
（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴x+2=1，x=-；即点M的坐标（-，1）．
（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
①FM=OF=2，则：x2=4，x1=、x2=-
代入y=x+2中，得：y1=、y2=；
即点M的坐标（，）或（-，）；
②OM=OF=2，则：x2+3x+4=4，x1=0（舍）、x2=-
代入y=x+2中，得：y=；
即点M的坐标（-，）；
综上，存在符合条件的点M，且坐标为（-，1）、（，）、（-，）、（-，）．