Question

关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0的两实根x₁、x₂满足|x₁+x₂|=x₁x₂-1．点A为直线y=x上一点，过A作AC⊥x轴交x轴于C，交双曲线于B，求OB²-AB²的值．

Answer

根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2k-2，x1x2=k2，再根据|x1+x2|=x1•x2-1，得出关于k的方程，解方程得出k的值，再利用勾股定理得出OB2=OC2+BC2，AB2=（AC+BC） 2=OC2+BC2+2OC•BC，得出OB2-AB2=-2OC•BC求出即可．
【解析】
由根与系数的关系，得x1+x2=2k-2，x1x2=k2，
当2k-2≥0时，
∵|x1+x2|=x1•x2-1，
∴2k-2=k2-1，
∴k=1（此时不合题意），
当2k-2＜0时，
∵|x1+x2|=x1•x2-1，
∴2-2k=k2-1，
∴k1=1（舍去），k2=-3．
故k=-3，
根据题意画出图象：
∵点A为直线y=x上一点，
∴AC=CO，
∵OB2=OC2+BC2，AB2=（AC+BC） 2=OC2+BC2+2OC•BC，
∴OB2-AB2=OC2+BC2-（OC2+BC2+2OC•BC）=-2OC•BC=-2k=6．