Question

已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．
操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．
思考：
（1）求直角三角尺边框的宽．
（2）求证：∠BB′C′+∠CC′B′=75°．
（3）求边B′C′的长．

Answer

（1）过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC与A′C′，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽，由A′C′与圆O相切，根据切线的性质得到OD为圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据∠A=30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长，再由OD-OE求出DE的长，即为三角尺的宽．
（2）有题意可知三角板的宽度是一样大，所以BB′平分∠A′B′C′，C C′平分∠A′C′B′，因为∠A′B′C′=60°，∠A′C′B′=90°，所以∠BB′C′=30°，∠CC′B′=45°，所以∠BB′C′+∠CC′B′=75°；
（3）设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，可计算出MN=AM+AC+CN=3+2，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系得到B′N=NM=+2，则B′C′=B′N+NC′=+3．
【解析】
（1）过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，
∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB=4cm，
∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OE=OA=×2=1（cm），
∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）
则三角尺的宽为1cm；
（2）∵三角板的宽度是一样大，
∴BB′平分∠A′B′C′，C C′平分∠A′C′B′，
∵∠A′B′C′=60°，∠A′C′B′=90°，
∴∠BB′C′=30°，∠CC′B′=45°，
∴∠BB′C′+∠CC′B′=75°；
（3）设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，
则有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，
∴MN=AM+AC+CN=3+2，
在Rt△MB′N中，∵∠B′MN=30°，
∴B′N=NM=+2，则B′C′=B′N+NC′=+3．
∴B′C′=3+．