Question

已知一次函数y₁=2x和二次函数y₂=x²+1．
（1）求证：函数y₁、y₂的图象都经过同一个定点；
（2）求证：在实数范围内，对于任意同一个x的值，这两个函数所对应的函数值y₁≤y₂总成立；
（3）是否存在抛物线y₃=ax²+bx+c，其图象经过点（-5，2），且在实数范围内，对于同一个x的值，这三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂总成立？若存在，求出y₃的解析式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）令y1=y2，得到2x=x2+1，得到其根的判别式等于0即可说明两图象只有一个交点，即经过同一个定点．
（2）把y2化成完全平方的形式与y1进行比较即可得出结论；
（3）由图可知，在实数范围内，对于x的同一个值，三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，利用c=2-5a，代入（b-2）2-4ac≤0得出a的值，于是可推理出抛物线的解析式．
【解析】
（1）令y1=y2，
得：2x=x2+1，
整理得：x2-2x+1=0
∵△=b2-4ac=（-2）2-4=0
∴直线y1=2x与抛物线y2=x2+1只有一个交点，
即：函数y1、y2的图象都经过同一个定点；

（2）在实数范围内，对于x的同一个值y2=x2+1=（x-1）2+2x，y1=2x，
∵（x-1）2≥0，
∴y1≤y2；

（3）由y1=2x，y2=x2+1得：
y2-y1=x2+1-2x=（x-1）2
即当x=1时，有y1=y2=2．
所以（1，2）点为y1和y2的交点．
因为要满足y1≤y3≤y2恒成立，所以y3图象必过（1，2）点．
又因为y3-y1=ax2+bx+c-2x恒大于等于0，即ax2+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函数ax2+（b-2）x+c必定开口向上，
即有a＞0且（b-2）2-4ac≤0，
同样有y2-y3=（1-a）x2-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b2-4（1-a）（1-c）≤0，
又因为函数过（-5，2）和（1，2）两点，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
将b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）2-4ac≤0得，
（4a-2）2-4a（2-5a）=16a2-16a+4-8a+20a2
=36×a2-24a+4=4（3a-1）2≤0
等式成立时 a=，
将b=4a，c=2-5a 代入b2-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）2-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a2-24a+4=4（3a-1）2≤0
满足条件a=
所以y3的解析式为y3=（x2+4a+1）=x2+x+．