Question

如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=______，AC=______，△ABC的面积S_△ABC=______；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的求值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

Answer

探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=，可得AH=12，BH=5，则CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=，n=，再根据S△ABD+S△CBD=S△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．
【解析】
探究：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC-BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S△ABC=BC•AH=×14×12=84．
故答案为12，15，84；

拓展  （1）由三角形的面积公式，得S△ABD=BD•AE=xm，S△CBD=BD•CF=xn；
（2）由（1）得m=，n=，
∴m+n=+=，
∵AC边上的高为==，
∴x的取值范围是≤x≤14．
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴当x=时，（m+n）的最大值为15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；
（3）x的求值范围是x=或13＜x≤14．
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为．