Question

在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是    ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=    （用含n的代数式表示）．

Answer

根据题意画出图形，根据图形可得当点B的横坐标为8时，n=2时，此时△AOB所在的四边形内部（不包括边界）每一行的整点个数为4×2+1-2，共有3行，所以此时△AOB所在的四边形内部（不包括边界）的整点个数为（4×2+1-2）×3，因为四边形内部在AB上的点是3个，所以此时△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m==9，据此规律即可得出点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m的值．
【解析】
如图：

当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，
所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；
当点B的横坐标为8时，n=2时，△AOB内部（不包括边界）的整点个数m==9，
当点B的横坐标为12时，n=3时，△AOB内部（不包括边界）的整点个数m==15，
所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m==6n-3；
另【解析】
网格点横向一共3行，竖向一共是4n-1列，所以在y轴和4n点形成的矩形内部一共有3（4n-1）个网格点，而这条连线为矩形的对角线，与3条横线有3个网格点相交，所以要减掉3点，总的来说就是矩形内部网格点减掉3点的一半，即为[3（4n-1）-3]÷2=6n-3．
故答案为：3或4，6n-3.