Question

已知抛物线y=x²+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标，
【解析】
（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．

（2）∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO=90°-60°=30°．
∴AB=20A=4．
∴PB=4．
解法一：把y=4代入y=x2+1，
得  x=±2．
∴P1（2，4），P2（-2，4）．  
解法二：∴OB==2
∴P1（2，4）．    
根据抛物线的对称性，得P2（-2，4）． 

（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）
∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b
∴
解得：
∴解析式为：y=x+2
设存在点N使得OAMN是菱形，
∵点M在直线AP上，
∴设点M的坐标为：（m，m+2）
如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ-OA=m+2-2=m
∵四边形OAMN为菱形，
∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，
即：m2+（m）2=22
解得：m=±
代入直线AP的解析式求得y=3或1，
当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：
当N在右图1位置时，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M点坐标为（，3），
∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）．
当N在右图2位置时，
∵MN=OA=2，M点坐标为（-，1），
∴N点坐标为（-，-1），即N2坐标为（-，-1）．
当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：
第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（-，1）；
第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，-1）
∴存在N1（，1），N2（-，-1）N3（-，1），N4（，-1）使得四边形OAMN是菱形．