Question

如图，AC、BC是⊙O的弦，BC∥AO，AO的延长线与过点C的射线交于点D，且∠D=90°-2∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若BC=4，tanD=，求CD和AD的长．

Answer

（1）连接OC，由AO=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠DOC为△AOC的外角，利用外角的性质得到∠DOC=2∠A，代入已知的等式∠D=90°-2∠A中，得到∠D+∠DOC=90°，利用三角形的内角和定理得到∠OCD=90°，即CD垂直于半径OC，可得出CD为圆O的切线，得证；
（2）过O作OE垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，由BC求出EC的长，由BC与AD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用等角的余角相等得到∠COE=∠D，由tanD的值求出tan∠COE的值，在直角三角形OEC中，利用锐角三角函数定义及CE的长求出OE的长，利用勾股定理求出OC的长，在直角三角形OCD中，利用tanD及OC的长，求出CD的长，再利用勾股定理求出OD的长，由OA+OD求出AD的长即可．
（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∠DOC为△AOC的外角，
∴∠DOC=2∠A，
∵∠D=90°-2∠A，
∴∠D+∠DOC=90°，
∴∠OCD=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）【解析】
过点O作OE⊥BC于E，则∠OEC=90°，
∵BC=4，
∴CE=BC=2，
∵BC∥AO，
∴∠OCE=∠DOC，
∵∠COE+∠OCE=90°，∠D+∠DOC=90°，
∴∠COE=∠D，
∵tanD=，
∴tan∠COE=，
∵∠OEC=90°，CE=2，
∴OE==4，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OC==2，
在Rt△ODC中，由tanD==，得CD=4，
由勾股定理可得：OD==10，
则AD=OA+OD=OC+OD=2+10．