Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C．
（1）求点B的坐标 （用含m的代数式表示）；
（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer

（1）利用配方法或公式法都能求出点B的坐标．
（2）可过点D作DF⊥x轴于F，那么DF是△BOC的中位线，由此得出DF、OF、CF的长；再由△AFD∽△AOE得出的比例线段以及OE的长，即可求出m的值，由此确定函数的解析式．
（3）此题中，首先要确定点M的位置：已知“△AMC的周长最小”，那么可作点C关于直线BO的对称点C′，连接AC′与直线BO的交点即为符合条件的点M；
确定点M后，由于所求平行四边形的四顶点顺序并不确定，所以分：AM为边和AM为对角线两种情况讨论；在解答时，可根据平行四边形的对边平行且相等的特点，过P、Q作坐标轴的垂线，通过构建全等三角形来确定点P的坐标．
【解析】
（1）∵，
∴抛物线的顶点B的坐标为．

（2）令，解得x1=0，x2=m．
∵抛物线与x轴负半轴交于点A，
∴A （m，0），且m＜0．
过点D作DF⊥x轴于F，如右图；
由D为BO中点，DF∥BC，可得CF=FO=．
∴DF=．
由抛物线的对称性得 AC=OC．
∴AF：AO=3：4．
∵DF∥EO，
∴△AFD∽△AOE．
∴．
由E （0，2），B，得OE=2，DF=．
∴．
∴m=-6．
∴抛物线的解析式为．

（3）依题意，得A（-6，0）、B （-3，3）、C （-3，0）．可得直线OB的解析式为y=-x，直线BC为x=-3．
作点C关于直线BO的对称点C′（0，3），连接AC′交BO于M，则M即为所求．
由A（-6，0），C′（0，3），可得直线AC′的解析式为．
由解得
∴点M的坐标为（-2，2）．
由点P在抛物线上，设P （t，）．
（ⅰ）当AM为所求平行四边形的一边时．
①如右图，过M作MG⊥x轴于G，过P1作P1H⊥BC于H，
则xG=xM=-2，xH=xB=-3．
由四边形AM P1Q1为平行四边形，可证△AMG≌△P1Q1H．
可得P1H=AG=4．
∴t-（-3）=4．
∴t=1．
∴．
②如右图，同①方法可得 P2H=AG=4．
∴-3-t=4．
∴t=-7．
∴．
（ⅱ）当AM为所求平行四边形的对角线时，如右图；
过M作MH⊥BC于H，过P3作P3G⊥x轴于G，则xH=xB=-3，xG==t．
由四边形AP3MQ3为平行四边形，可证△A P3G≌△MQ3H．
可得AG=MH=1．
∴t-（-6）=1．
∴t=-5．
∴．
综上，点P的坐标为、、．