Question

在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）．
（1）如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值，并证明你的结论；
（2）如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论．

Answer

（1）易证四边形ABCD是正方形，证明△NGE≌△BAN，即可得到∠1+∠3=90°，则BN⊥NE，然后根据三角函数即可利用正方形的边长表示吃CE的长度，则可以得到的值；
（2）延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，易证△BMN≌△GDN，则可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，从而得到BN⊥NE，然后证明△CHE是等腰直角三角形，而BM=CH，即可证得；
（3）同（2）可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，然后证明△NGE≌△BAN，从而得到BN⊥NE；当AB≠BC时，E，C，D不在一条直线上，因而比值的关系不成立．
【解析】
（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；=．
证明：如图，过点E作EG⊥AF于G，则∠EGN=90°．
∵矩形ABCD中，AB=BC，
∴矩形ABCD为正方形．
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=90°．
∴EG∥CD，∠EGN=∠A，∠CDF=90°．   
∵E为CF的中点，EG∥CD，
∴GF=DG=．
∴．
∵N为MD（AD）的中点，
∴AN=ND=．
∴GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB．
∴△NGE≌△BAN．
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∴∠BNE=90°．
∴BN⊥NE．      
∵∠CDF=90°，CD=DF，
可得∠F=∠FCD=45°，．
于是．

（2）在（1）中得到的两个结论均成立．
证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，
交CD于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CG．
∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN．
∵N为MD的中点，
∴MN=DN．
∴△BMN≌△GDN．
∴MB=DG，BN=GN．
∵BN=NE，
∴BN=NE=GN．
∴∠BEG=90°．               
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°．
∴∠BEG=∠CEH．
∴∠BEC=∠GEH．
由（1）得∠DCF=45°．
∴∠CHE=∠HCE=45°．
∴EC=EH，∠EHG=135°．
∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°，
∴∠ECB=∠EHG．
∴△ECB≌△EHG．
∴EB=EG，CB=HG．
∵BN=NG，
∴BN⊥NE．
∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE，
∴=；

（3）BN⊥NE；不一定等于．
证明：可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE．GE交AD于点Q．
同（2）可以证得：△BMN≌△GDN，
则BN=NG=NE，则△BEG是直角三角形，∠BEG=90°，
与（2）相同，可证：△ECB≌△ECG，
∴EB=EG，CB=CG．
∵BN=NG，
∴BN⊥NE．
同（2）可得：GQ=CE≠DG=BM，
故不一定等于（只有当Q与D重合时才相等）．