Question

如图，C在射线BM上，在平行四边形ABCD中，AC=BD=10，，对角线AC与BD相交于O点．在射线BM上截取一点E，使OC=CE，连接OE，与边CD相交于点F．
（1）求CF的长；
（2）在没有“OC=CE”的条件下，连接DE、AE，AE与对角线BD相交于P点，若△ADE为等腰三角形，请求出DP的长．

Answer

（1）根据已知条件求得CD=6，讨论当E点在BC的延长线上时，CF的长，以及当E点在边BC上时，易证F在CD的延长线上，与题意不符，
（2）根据题意分情况进行解答，①交于BC的延长线上，②交于边BC，即可得出DP的长．
【解析】
（1）∵ABCD为平行四边形且AC=BD，
∴ABCD为矩形，
∴∠ACD=90°
在RT△CAD中，tan∠CAD=，
设CD=3k，AD=4k，
∴（3k）2+（4k）2=102，
解得k=2，
∴CD=3k=6，
（Ⅰ）当E点在BC的延长线上时，
过O作OG⊥BC于G，
∴，
∴OG=3
同理可得：，即BG=GC=4，
又∵，
∴，
∴
解得，
（Ⅱ）当E点在边BC上时，易证F在CD的延长线上，与题意不符，舍去．

（2）若△ADE为等腰三角形，
（Ⅰ）AD=ED=8（交于BC的延长线上），
由勾股定理可得：，
∵AD∥BE，
∴，
设PD=4a，则BP=4a+a，
∴BP+PD=BD=10=，
解得，
∴，
（Ⅱ）AD=ED=8（交于边BC），
同理可得：，
∴，
解得，
∴，
（Ⅲ）AE=ED，
易证：△AEB≌△DEC，
∴，
∴同理可得：，则，
∴，PD=，
（Ⅳ）AE=AD=8，
∴
∴同理可得：，

∴，
∴综上所述，若△ADE为等腰三角形，或．