Question

已知∠MON=60°，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．
（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于A，求证：PA=PB；
（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC=PB，求：△POB与△PBC的面积之比；
（3）当OB=2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD=∠ABO．请求出OP的长．

Answer

（1）可以把求证PA=PB的问题转化为证明△PAF≌△PBG即可；
（2）首先证明△POB∽△PBC，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解；
（3）分点A在射线OM上，点A在射线OM的反向延长线上两种情况进行讨论，作OT的垂线，利用三角函数即可求解．
（1）证明：作PF⊥OM于F，作PG⊥ON于G，（1分）
∵OP平分∠MON，
∴PF=PG，（2分）
∵∠MON=60°，
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°，（3分）
又∵∠APB=120°，
∴∠APF=∠BPG，
∴△PAF≌△PBG，（4分）
∴PA=PB；（5分）

（2）由（1）得：PA=PB，∠APB=120°，
∴∠PAB=∠PBA=30°，（6分）
∵∠MON=60°，OP平分∠MON，
∴∠TON=30°，（7分）
∴∠POB=∠PBC，（8分）
又∠BPO=∠OPB，
∴△POB∽△PBC，（9分）
∴，
∴△POB与△PBC的面积之比为4：3；（10分）

（3）①当点A在射线OM上时（如图乙1），
，
易求得：∠BPD=∠BOA=60°，
∵∠PBD=∠ABO，而∠PBA=30°，
∴∠OBA=∠PBD=75°，
作BE⊥OT于E，
∵∠NOT=30°，OB=2，
∴BE=1，OE=，∠OBE=60°，
∴∠EBP=∠EPB=45°，
∴PE=BE=1，
∴OP=OE+PE=+1，（12分）
②当点A在射线OM的反向延长线上时（如图乙2），
，
此时∠AOB=∠DPB=120°，
∵∠PBD=∠ABO，而∠PBA=30°，
∴∠OBA=∠PBD=15°，
作BE⊥OT于E，
∵∠NOT=30°，OB=2，
∴BE=1，OE=，∠OBE=60°，
∴∠EBP=∠EPB=45°，
∴PE=BE=1，
∴OP=-1，（14分）
∴综上所述，当OB=2时，．