Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC²=PE•PO
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．

Answer

（1）连接OC，根据PC2=PE•PO和∠P=∠P，可证明△PCO∽△PEC，则∠PCO=∠PEC，再由已知条件即可得出PC⊥OC；
（2）设OE=x，则AE=2x，根据切割线定理得PC2=PA•PB，则PA•PB=PE•PO，解一元二次方程即可求出x，从而得出⊙O的半径；
（3）连接BC，根据PC是⊙O的切线，得∠PCA=∠B，根据勾股定理可得出CE，BC，由三角函数的定义可得出答案．
（1）证明：连接OC，
∵PC2=PE•PO，
∴=，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）【解析】
设OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC2=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半径为3．

（3）【解析】
连接BC，
∵PC2=PA•PB，
∴PC=6，
∴CE===2，
∴BC===2，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B===．