Question

已知，如图1，抛物线y=ax²+bx过点A（6，3），且对称轴为直线．点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）如图2，过点B作直线BC∥y轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线，利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，将△OAB分成△OBH和△ABH两部分求解；
（3）假设存在满足题意的D点，再根据△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形这一条件解答．
【解析】
（1）由题知：解之，得，
∴该抛物线的解析式为：．

（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，
由题知直线OA为：，
∴设点，点，∴，
∴S=S△OBH+S△ABH=，
=，
∴当m=3时，；

（3）存在，点B为（1+，）或（5-，），
理由如下：设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意，
过点D作DQ⊥BC于点Q，
则由（2）有点，点B，
∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形
∴，即是：且（0＜m＜6），
若，解之：（舍去），，
时，，
∴点B（1+，），
若，解之：（舍去），
当时，，
∴，
综上，满足条件的点B为（1+，）或（5-，）．