Question

设α、β是方程x²+9x+1=0的两根，则（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）的值是    ．

Answer

将方程x2+9x+1=0转化为x2+2009x+1=2000x，就可以直接代入（α2+2009α+1）（β2+2009β+1），然后利用根与系数的关系即可得出该式的值．
【解析】
方程x2+9x+1=0可化为x2+2009x+1=2000x，
又∵α、β是方程x2+9x+1=0的两根，
∴α2+2009α+1=2000α，
β2+2009β+1=2000β，
∴（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=2000α•2000β=4000000αβ
根据根与系数的关系，αβ=1，
所以（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=2000α•2000β=4000000αβ=4 000 000．
故答案为：4000 000．