Question

如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．
（1）当∠AFB=60°时，△ABF沿着直线AF折叠，折叠后，落在平面内G点处，求G点的坐标．
（2）当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？
（3）当△AEF的面积最小时，直线EF与y轴相交于点M，P点在x轴上，⊙P与直线EF相切于点M，求P点的坐标．

Answer

（1）首先过点G分别作GN⊥x轴于点N，作GH⊥y于点H，得出AH=AGsin60°以及GH=AG分别求出即可．
（2）此题只需设得CF的长为x，F在BC上运动，0≤x≤8，又EC+CF=8，则EC=8-x；再由面积切割法表示出△AEF的面积关于x的函数并求得最值即可．
（3）首先求出直线EF的解析式，即可得出M的坐标，进而得出△MOE∽△POM，即可得出OP的长，得出P点坐标即可．
【解析】
（1）如图，过点G分别作GN⊥x轴于点N，作GH⊥y于点H，
如图△ABF沿直线AF折叠后得△AGF，
则△AGF≌△ABF，
因为∠AFB=∠AFG=60°，
所以∠BAF=∠FAG=∠OAG=30°
在直角三角形AGH中，GH=AG=×AB=×16=8，
AH=AGsin60°=16×=8
即OH=8-12，
因此G（8，12-8）．

（2）在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；
则AB=OC=16，BC=OA=12；
设CF=x，则EC=8-x；
S△AEF=S□ABCO-S△AOE-S△ABF-S△ECF=OA×OC-×OE×OA-×AB×BF-×CE×CF，
=12×16-×[16-（8-x）]×12-×16×（12-x）-×x×（8-x），
=x2-2x+48，
=（x-2）2+46；
因此，当x=2时，S△AEF取得最小值46．
故当F运动到CF为2时，△AEF的面积最小，最小为46．

（3）由（2）得F（16，2），E（10，0），
设直线EF：y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=x-，
∴M（0，-），
连接PM，
∵⊙P与直线EF相切于点M，
∴PM⊥ME，
∴∠PMO+∠OME=90°，
∠MPO+∠PMO=90°，
∴∠MPO=∠OME，
∵∠POM=∠MOE=90°，
∴△MOE∽△POM，
∴=，
∴OM2=OP•OE，
∴OP=，
∴P点的坐标为：P（-，0）．