Question

如图，在⊙O中，OA、OB是半径，且OA⊥OB，OA=6，点C是AB上异于A、B的动点．过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE．
（1）求证：四边形OGCH为平行四边形；
（2）①当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由；
②求CD²+CH²之值．

Answer

（1）首先证明四边形OECD是矩形，得出OG=CH，同理可证OH=CG，得出四边形OGCH为平行四边形；
（2）①根据点C是AB上的点，OA=6，得出OC=OA=6，由DG=GH=HE，得出DG=ED=2；
②首先得出△DHF∽△DEC，进而得出，利用，从而得出CF=CD-FD=CD，再利用勾股定理得出CD2+CH2的值．
（1）证明：如图，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°
又∵∠AOB=90°，
∴四边形OECD是矩形．
∴OD=EC，且OD∥EC，
∴∠ODG=∠CEH
∵DG=EH，
∴△ODG≌△CEH，
∴OG=CH．
同理可证OH=CG
∴四边形OGCH为平行四边形；

（2）【解析】
①线段DG的长度不变．
∵点C是AB上的点，OA=6．
∴OC=OA=6
∵四边形OECD是矩形，
∴ED=OC=6，
∵DG=GH=HE，
∴DG=ED=2；

②如图，过点H作HF⊥CD于点F，
∵EC⊥CD，
∴HF∥EC，
∴△DHF∽△DEC，
∴，
∴，
从而CF=CD-FD=CD
在Rt△CHF中，CH2=HF2+CF2=HF2+CD2
在Rt△HFD中，HF2=DH2-DF2=CD2，
∴CH2=CD2+CD2=16-CD2
∴．