Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．（湖北潜江中考25题改编）

Answer

（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可证得△BDC是直角三角形；分OP=OC，PC=OC，OPO=PC三种情况即可求得P的坐标；
（3）设点P为（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），则PQ=-x2+2x+2，根据PQNM是菱形，则PQ=MN，即可求得PM的长，判断是否成立，从而确定；根据②的解法即可确定P的坐标．
【解析】
（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）设解析式是y=ax2+bx+c，
可得，
解得，
∴y=-x2+3x+4；

（2）△BDC是直角三角形，
∵BD2=BO2+DO2=5，DC2=DO2+CO2=20，BC2=（BO+CO）2=25
∴BD2+DC2=BC2，
∴△BDC是直角三角形．
点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2），
设直线AD的解析式是y=kx+b，则，
解得：，
则直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（x，x+2）
当OP=OC时x2+（x+2）2=16，
解得：x=-1±（不符合，舍去）此时点P（-1+，1+）
当PC=OC时（x+2）2+（4-x）2=16，方程无解；
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4）；
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（-1+，1+）或（2，4）；

（3）点M坐标是（，点N坐标是（），∴MN=，
设点P为（x，x+2），Q（x，-x2+3x+4），则PQ=-x2+2x+2
①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5
当x2=1.5时，点P与点M重合；当x1=0.5时，可求得PM=，所以菱形不存在．
②能成为等腰梯形，作QH⊥MN于点H，作PJ⊥MN于点J，则NH=MJ，
则-（-x2+3x+4）=x+2-，
解得：x=2.5，
此时点P的坐标是（2.5，4.5）．