Question

如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．

Answer

（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，△CPQ与△CAB的面积比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；
（2）由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形ABQP的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长；
（3）因为不能确定哪个角是直角，故应分类讨论．
①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时．因为△CPQ∽△CAB，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值；
②∠PQM=90°时与①相同；
③当∠PMQ=90°，且PM=MQ时，过M作ME⊥PQ，则ME=PQ，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值．
【解析】
（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S△PQC=S四边形PABQ，
∴S△PQC：S△ABC=1：2，
∴==，
∴CP=•CA=2；

（2）∵△PQC∽△ABC，
∴==，
∴=，
∴CQ=CP，
同理：PQ=CP，
∴l△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+CP+CP=3CP，
I四边形PABQ=PA+AB+BQ+PQ，
=4-CP+AB+3-CQ+PQ
=4-CP+5+3-CP+CP
=12-CP，
∴12-CP=3CP
∴CP=12
∴CP=；

（3）∵AC=4，AB=5，BC=3
∴△ABC中AB边上的高为
①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时，
∵△CPQ∽△CAB
∴=
∴=
∴PQ=
②当∠PQM=90°时与①相同
③当∠PMQ=90°，且PM=MQ时
过M作ME⊥PQ
则ME=PQ
∴△CPQ的高为-ME=-PQ
∴=
∴=
∴PQ=．
综合①②③可知：点M存在，PQ的长为或．