Question

如图①，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（-2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer

（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组即可求得系数a、b的值；
（2）分类讨论：以OD为底的等腰三角形；以DF为底的等腰三角形；
（3）过点E作EF⊥x，轴于点F，设E（ a，-2a2-2a+3）（-3＜a＜0），则四边形BOCE的面积=三角形BEF的面积+梯形EFOC的面积，即S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF=-（a+）2+，由二次函数最值的求法即可求得a的值，所以点E的坐标迎刃而解了．
【解析】
（1）由题知：，
解得：
故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）存在符合条件的点F．
∵抛物线解析式为：y=-x2-2x+3，
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式是y=kx+b（k≠0），
把点A、C的坐标代入，得
，
解得，，
∴直线AC的解析式是y=-3x+3．
则设F（x，-3x+3）．
①当FD=FO时，点F是线段OD垂直平分线与直线AC的交点．
∵点D的坐标为（-2，0），
∴点F的横坐标是-1，则y=-3×（-1）+3=6，即F1（-1，6）；
②当DO=FO时，22=x2+（-3x+3）2．
解得，x1=，x2=，
则y1=，y2=，即F2（，），F3（，）．
综上所述，符号条件的点F的坐标分别是：
其坐标为F1（-1，6），F2（，），F3（，）．

（3）如图2，过点E作EG⊥x轴于点G，设E（ a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0）
∴EG=-a2-2a+3，BG=-a+3，OG=-a
∴S四边形BOCE=BG•EG+（OC+EG）•OG
=（-a+3）•（-a2-2a+3）+（-a2-2a+6）•（-a）
=-a2-a+=-（a+）2+
∴当a=-时，S四边形BOCE 最大，且最大值为，
而S△BOC值一定，具体求法如下：
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴S△BOC=OB•OC=，
则△BCE面积的最大值S=S四边形BOCE-S△BOC=-=．
又∵当a=-时，-a2-2a+3=-（-）2-2×（-）+3=，
∴点E坐标为 （-，）．