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如图,AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上一点,PC切⊙O于点C,连接AC,过点...

如图,AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上一点,PC切⊙O于点C,连接AC,过点O作AC的垂线交AC于点D,交⊙O于点E.已知AB﹦8,∠P=30°.
(1)求线段PC的长;
(2)求阴影部分的面积.

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(1)连接OC,由PC为圆O的切线,根据切线的性质得到OC与PC垂直,可得三角形OCP为直角三角形,同时由直径AB的长求出半径OC的长,根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值,根据∠P的度数,利用特殊角的三角函数值求出tanP的值,由tanP及OC的值,可得出PC的长; (2)由直角三角形中∠P的度数,根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数,进而得出∠BOC的度数,由OD与BC垂直,且OC=OB,利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线,可求出∠COD度数为60°,再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由斜边OC的长求出OD的长,先由∠COD的度数及半径OC的长,利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积,再由OD与CD的长,利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积,用扇形COE的面积减去三角形COD的面积,即可求出阴影部分的面积. 【解析】 (1)连接OC, ∵PC切⊙O于点C, ∴OC⊥PC, ∵AB=8, ∴OC=AB=4, 又在直角三角形OCP中,∠P=30°, ∴tanP=tan30°=, 即PC==4; (2)∵∠OCP=90°,∠P=30°, ∴∠COP=60°, ∴∠AOC=120°, 又AC⊥OE,OA=OC, ∴OD为∠AOC的平分线, ∴∠COE=∠AOC=60°,又半径OC=4, ∴S扇形OCE==, 在Rt△OCD中,∠COD=60°, ∴∠OCD=30°, ∴OD=OC=2, 根据勾股定理得:CD==2, ∴S△OCD=DC•OD=×2×2=2, 则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=-2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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