Question

已知经过原点的抛物线y=-2x²+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m＞0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P
（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）；
（2）设△PCD的面积为s，求s关于m关系式；
（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据当0＜m＜2，当m=2，即点P在x轴时，当m＞2即点P在第四象限时，分别得出即可；
（3）根据E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，表示出E点的坐标，再把点E代入抛物线解析式得出即可．
【解析】
（1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，
则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2，
由题得，
解得，
∴点P的坐标为（，）；

（2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2）
∴抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），
∴AO=2，
∵C、D两点是抛物线y=-2x2+4x向右平移m（m＞0）个，
单位所得抛物线与x轴的交点∴CD=OA=2，
①当0＜m＜2，即点P在第一象限时，如图1，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（，），
∴PH=，
∴S=CD•2•（-m2+2）=-m2+2，
②当m=2，即点P在x轴时，△PCD不存在，
③当m＞2即点P在第四象限时，如图2，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（，），
∴PH=，
∴S=CD•HP=×2×=m2-2；

（3）如图3，若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2
由轴对称可知PE=PF，
∴PE=，
∵P（，），
∴点E的坐标为（，），
把点E代入抛物线解析式得：，
解得：m=1．