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如图,已知AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C,...

如图,已知AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C,垂足为M.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)当BC=BD,且BD=6cm时,求图中阴影部分的面积(结果不取近似值).

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(1)连接OC,证明∠OCD=90°.根据垂径定理得OD垂直平分BC,所以DB=DC.从而△OBD≌△OCD,得∠OCD=∠OBD=90°; (2)阴影面积=S扇形OBC-S△OBC.根据切线长定理知△BCD为等边三角形,可求∠BOC的度数,运用相关公式计算. (1)证明:连接OC. ∵OD⊥BC,O为圆心, ∴OD平分BC. ∴DB=DC, 在△OBD与△OCD中, ∴△OBD≌△OCD.(SSS) ∴∠OCD=∠OBD. 又∵AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线, ∴∠OCD=∠OBD=90°, ∴CD是⊙O的切线; (2)【解析】 ∵DB、DC为切线,B、C为切点, ∴DB=DC. 又DB=BC=6, ∴△BCD为等边三角形. ∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°, ∠OBM=90°-60°=30°,BM=3. ∴OM=BM•tan30°=,OB=2OM=2. ∴S阴影部分=S扇形OBC-S△OBC =- =4π-3(cm2).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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