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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1...

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF上AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值;
(3)以DH所在直线为对称轴,线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′.
①当t>manfen5.com 满分网时,连接C′C,设四边形ACC′A′的面积为S,求S关于t的函数关系式;
②当线段A′C′与射线BB′,有公共点时,求t的取值范围(写出答案即可).

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(1)在Rt△ABC中,利用勾股定理可求得AB的长,即可得到AD、t的值,从而确定AE的长,由DE=AE-AD即可得解. (2)若△DEG与△ACB相似,要分两种情况:①AG:DE=DH:GE,②AH:EG=DH:DE,根据这些比例线段即可求得t的值.(需注意的是在求DE的表达式时,要分AD>AE和AD<AE两种情况) (3)①根据轴对称的性质知:DH分别垂直平分AA′、CC′,则AA′∥CC′,显然AA′≠CC′,因此四边形ACC′A′是梯形;首先用t表示出AD,易证得△ACB∽△AHD,根据得到的比例线段可求得AH、DH的表达式,在Rt△COD中,通过解直角三角形,可求得OD、OC的长,进而可求得梯形的高OH的值,而梯形的上下底分别是AH、OC的2倍,可根据梯形的面积公式求得S、t的函数关系式; ②此题只需考虑两种情况即可: 一、A′落在BB′上时,此时A′、B重合,AA′=AB=5,根据①所得AA′的表达式即可求得t的值; 二、C′落在BB′上时,在①已证得AB∥CC′,那么四边形ACC′B为平行四边形,即AB=CC′,根据①所得CC′的表达式即可求得t的值; 综合上面两种情况所得的t值,即可求得t的取值范围. 【解析】 (1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4, ∴AB==5. ∵AD=5t,CE=3t, ∴当AD=AB时,5t=5,即t=1; ∴AE=AC+CE=3+3t=6,DE=6-5=1. (2)∵EF=BC=4,G是EF的中点, ∴GE=2. 当AD<AE(即t<)时,DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t, 若△DEG与△ACB相似,则或, ∴或, ∴t=或t=; 当AD>AE(即t>)时,DE=AD-AE=5t-(3+3t)=2t-3, 若△DEG与△ACB相似,则或, ∴或, 解得t=或t=; 综上所述,当t=或或或时,△DEG与△ACB相似. (3)①由轴对称的性质变换得:AA′⊥DH,CC′⊥DH,则AA′∥CC′; 易知OC≠AH,故AA′≠CC′, ∴四边形ACC′A′是梯形; ∵∠A=∠A,∠AHD=∠ACB=90°, ∴△AHD∽△ACB, ∴==, ∴AH=3t,DH=4t. ∵sin∠ADH=sin∠CDO, ∴,即=, ∴CO=3t-. ∴AA′=2AH=6t,CC′=2CO=6t-. ∵OD=CD•cos∠CDO=(5t-3)×=4t-, ∴OH=DH-OD=. ∴S=(AA′+CC′)•OH=(6t+6t-)×=t-; ②≤t≤; 当A′落在射线BB′上时(如图甲),AA′=AB=5, ∴6t=5,∴t=; 当点C′落在射线BB′上时(如图乙),易CC′∥AB; 故四边形ACC′B为平行四边形, ∴CC′=AB=5, ∴6t-=5,t=. 故≤t≤.
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考点分析:
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求证:△ABC≌△A1B1C1
(请你将下列证明过程补充完整.)
证明:分别过点B,B1作BD⊥CA于D,
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∵BC=B1C1,∠C=∠C1
∴△BCD≌△B1C1D1
∴BD=B1D1
(2)归纳与叙述:
由(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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