Question

如图，已知AB是⊙O的一条固定的弦，C是弦AB上的一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．

（1）若OB=2，∠B=28°，求弦AB的长（精确到0.01）；
（2）当∠B=30°，且∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）若∠B=α度（0°＜α＜45°），且△ACD为等腰三角形，求它的底角的度数（用含α的代数式表示）．

Answer

（1）首先过点O作OM⊥AB，则AM=BM，在Rt△OBM中，利用cosB=，即可求出BM的长，进而求出AB即可；
（2）首先得出OA=OB=OD，利用∠B=30°，∠D=20°，得出∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，求出∠DAB=50°，即可利用圆周角定理得出∠DOB度数；
（3）利用等腰三角形的性质利用当DA=DC时，当CA=CD时，当AC=AD时求出底角的度数即可．
【解析】
（1）如图1，过点O作OM⊥AB，则AM=BM，
在Rt△OBM中，
∵cosB=，
∴BM=OB•cosB=2×cos28°≈1.766，
故AB=2×1.766≈3.53；

（2）如图1，连接AO，
∵OA、OB、OD是⊙O的半径，
∴OA=OB=OD，
∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAO=∠D=20°，∠OAB=∠B=30°，
∴∠DAB=50°，
∴∠DOB=100°；

（3）如备用图1，设∠D=x°，连接OA，
∵OD=OA=OB，
∴∠DAO=∠ADO=x，∠CAO=∠ABO=α，
若DA=DC，则x+2（x+α）=180，
故x=，
则底角∠DAC=x+α=+α=60+α，
若CA=CD，显然∠CAD＞x，此种情况不存在，
若AC=AD，则2x+x+α=180，
故x=，
则底角∠D=x=60-α．