Question

已知直线y=-x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一个动点P由原点O向点A运动（与点A不重合），速度为每秒1个单位，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，以点C为顶点的抛物线y=-4（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D，与x轴交于点E（点E在抛物线对称轴的右侧）．设点P运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标，并求t=1时抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似？
（3）①求CD的长；
     ②设△COD的OC边长的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer

（1）令y=0，求出x的值即可得到点A的坐标，求出t=1时的x、y的值，得到点C的坐标，然后代入抛物线解析式即可得解；
（2）根据直线的解析式求出点B的坐标，然后求出OA、OB的长，再求出OP的长，然后根据直线解析式求出PC的长，从而得到点C的坐标，然后表示出抛物线解析式，再分①PE与OA是对应边时，点E、A重合，然后把点A的坐标代入抛物线求解即可得到t的值；②PE与OB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PE的长，然后得到点E的坐标，再把点E的坐标代入抛物线解析式求解即可得到t的值；
（3）①联立抛物线与直线解析式求出点D的横坐标，再过点D作DH⊥PC于H，从而求出DH的长，再根据△DCH和△ABO相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到CD的长；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，根据勾股定理列式求出AB，再根据△AOB的面积求出OF的长，然后根据CD的长度不变，是定值可知OC的长度最小时，OC边上的高h最大，此时OF、OC重合，然后根据△OFG和△BAO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【解析】
（1）令y=0，则-x+2=0，解得x=4，
所以，点A（4，0），
∵点P的运动速度是每秒1个单位，
∴t=1时，x=1，y=-+2=，
∴点C的坐标为（1，），
∴抛物线解析式为y=-4（x-1）2+；

（2）令x=0，则y=2，
所以，点B的坐标为（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵OP=t，
∴PC=-t+2，
∴C（t，-t+2），
∴y=-4（x-t）2-t+2，
①PE与OA是对应边时，此时点E与点A重合，
∴-4（4-t）2-t+2=0，
整理得，（t-4）（4t-16+）=0，
解得t1=4（为点C，舍去），t2=，
②PE与OB是对应边时，∵△PCE∽△OAB，
∴=，
即=，
解得PE=-t+1，
∴OE=t-t+1=t+1，点E的坐标为（t+1，0），
∵点E在抛物线上，
∴-4（t+1-t）2-t+2=0，
整理得，（t-4）（t-2）=0，
解得t1=4（为点C，舍去），t2=2，
综上所述，当t=2或t=时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似；

（3）①联立消掉y得，-4（x-t）2-t+2=-x+2，
整理得，（x-t）（-4x+4t+）=0，
解得x1=t，x2=t+，
则点D的横坐标为t+，过点D作DH⊥PC于H，则DH=，
∵PC⊥x轴，DH⊥PC，
∴△DCH∽△ABO，
∴=，
∵OA=4，OB=2，
∴AB===2，
∴=，
解得CD=；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵不论点P在何处，CD的长不变，
∴△ODC的面积也不变，
当OC长最小时，OC边上的高h最大，
∵S△AOB=×2•OF=×2×4，
∴OC=OF=，
∵△OFG∽△BAO，
∴=，
即=，
解得OG=，
即t=时，h的值最大．