Question

如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE，过点C作CF⊥DE交BD于点G，交AB于点H，连接BF，以下结论：①AH=BH；②∠BFH=45°；③；④DG=2BG．其中正确的结论是（ ）

A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④

Answer

根据全等三角形的判定与性质首先判定△BHC≌△CED，进而利用相似三角形与性质得出△BHG∽△DCG，进而得出答案即可．
【解析】
∵CF⊥DE，
∴∠DCF+∠FDC=90°，
∵∠BCH+∠DCF=90°，
∴∠BCH=∠EDC，
∵∠HBC=∠ECD，
BC=CD，
∴△BHC≌△CED，
∴CE=BH，
∵点E是BC边的中点，
∴AH=BH，故①AH=BH正确；
②作BM垂直于FE的延长线，垂足为点M．
作BN⊥HF，垂足为点N．
易证NBMF为矩形，
因为tan∠HCB=，
设EF的长度为K，则CF=FN=2K，
易证矩形NBMF为正方形．
则BF为正方形的对角线，则②∠BFH=45°．
故②∠BFH=45°正确；
③第二问证出，易证HN=K，BF=2K．从而易证HF+EF=BF．
故③正确，
∵AB∥CD，
∴△BHG∽△DCG，
∴=，
∴DG=2BG．故④DG=2BG正确；
故选：D．