Question

（1）如图1，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD：DE：CE=1：2：3，线段FG∥BC，分别交线段AD，AE于M、N两点，则有FM：MN：NG=______
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点有△ABC的三边上，线段FG分别交线段AD，AE于M、N两点，若BD=4，EC=9，求MN的长？
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点在△ABC的三边所在的直线上，DA与EN的延长线分别交直线FG于M、N两点，求证：MN²=MF•NG．

Answer

（1）根据平行线分线段成比例定理列式求出=，==，=，然后表示出FM、MN、NG，再求出比值即可；
（2）根据同角的余角相等求出∠B=∠CGE，然后求出△BDF和△GEC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求正方形DEGF的边长，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式求出MF、NG，然后根据MN=FG-MF-NG代入数据计算即可得解；
（3）根据平行线分线段成比例定理列式表示出MF、NG，然后求出MF•NG，再求出△BDF和△GEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BD•CE=DE2，整理即可得证．
（1）【解析】
∵FG∥BC，
∴=，==，=，
∴==，
设===k，
则FM=kBD，MN=kDE，NG=kCE，
∵BD：DE：CE=1：2：3，
∴FM：MN：NG=kBD：kDE：kCE=1：2：3，

（2）【解析】
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵四边形DEGF是正方形，
∴∠C+∠CGE=90°，DF=EG，
∴∠B=∠CGE，
又∵∠BDF=∠GEC=90°，
∴△BDF∽△GEC，
∴=，
∵BD=4，EC=9，
∴EG•DF=EG2=BD•EC=4×9=36，
∴EG=6，
即正方形DEGF的边长为6，
∵正方形DEGF的边FG∥DE，
∴====，
=，=，
即=，=，
解得MF=，NG=，
∴MN=FG-MF-NG=6--=；

（3）证明：在正方形DEGF中，DE∥FG，
∴CE∥NG，
∴=，==，=，
∴==，
∴MF=•MN，NG=•MN，
∴MF•NG=•MN••MN=MN2•，
∵∠BAC=90°，四边形DEFG是正方形，
∴∠C+∠ABC=90°，∠BFD+∠ABC=90°，GE=DF=DE，
∴∠C=∠BFD，
又∵∠BAC=∠GEC=90°，
∴△BDF∽△GEC，
∴=，
∴BD•CE=GE•DF=DE2，
∴=1，
∴MN2=MF•NG．
故答案为：1：2：3．