Question

如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于N，过点C作CM⊥CE，交FN于点M，
（1）求证：△ADE≌△CDE；
（2）求证：∠N=∠2；FM=MC=MN；
（3）试问当∠1等于多少度时，△ECN为等腰三角形？请说明理由．

Answer

（1）正方形是轴对称图形，本题把直线DB看作对称轴，用轴对称方法可证：△ADE≌△CDE；
（2）利用（1）及平行线可推出∠N=∠1，利用互余关系推出∠N=∠MCN，∠MFC=∠MCF，可得MC=MF=MN．
（3）根据三角形内角和定理可求∠1=30°．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
且BD为对角线，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB．
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．

（2）证明：由△ADE≌△CDE得∠1=∠2，
由AD∥BC得∠1=∠N，
∴∠2=∠N．
∵∠MCN+∠MCF=∠MCF+∠2=90°，∠2=∠N，
∴∠N=∠MCN，
同理可得出：∠MFC=∠MCF，
∴MC=MF=MN．

（3）【解析】
当∠1=30°．
理由：∵CE=CN，
∴∠CEN=∠N=∠1=∠2=x，
在△CEN中，
由内角和定理得：x+x+90°+x=180°，
x=30°．