Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），E（3，0），与y轴交于点B，且该函数的最大值是4．
（1）抛物线的顶点坐标是（______，______）；
（2）求该抛物线的解析式和B点的坐标；
（3）设抛物线顶点是D，求四边形AEDB的面积；
（4）若抛物线y=mx²+nx+p与上图中的抛物线关于x轴对称，请直接写出m的值．

Answer

（1）因为抛物线与x轴交于点A（-1，0），E（3，0），所以可求出对称轴即顶点的横坐标，又函数的最大值是4，所以可求出顶点的纵坐标是：4；
（2）设出函数的顶点式表达式为y=a（x-h）2+k，由（1）知h，k，再把A或E点的再把代入可求出a，所以函数的解析式明确了，B点的坐标即函数x=0时的函数值．
（3）把四边形AEDB的面积分割为S△AOB+S△DHE+S梯形BOHD可得问题答案．
（4）若抛物线y=mx2+nx+p和已知抛物线关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
【解析】
（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），E（3，0），
∴抛物线的对称轴是x==1，
∴顶点的横坐标是：1，
∵函数的最大值是4．
∴顶点的纵坐标是：4，
抛物线的顶点坐标是（1，4）．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，
∵抛物线顶点坐标为（1，4），
∴y=a（x-1）2+4，
又∵抛物线过点A（-1，0），∴4a+4=0，解得a=-1．
∴y=-x2+2x+3（或y=-（x-1）2+4为所求）．
当x=0时，y=3，∴B（0，3）．

（3）过点D作DH⊥x轴于点H，
∵A（-1，0），B（0，3），∴OA=1，OB=3，
∴S△AOB=×OA×OB=；
又∵D（1，4），E（3，0），∴DH=4，EH=2
∴S△DHE=×DH×HE=4；
又∵B（0，3），D（1，4），∴S梯形BOHD=×（OB+DH）×OH=；
∴S四边形AEDB=S△AOB+S梯形BOHD+S△DHE=9．

（4）m=1．