Question

（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，DC=2DF，求的值．

Answer

（1）连接EF，则AE=EG，可证明Rt△EGF≌Rt△EDF，则GF=DF，∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，从而得出△EDF∽△BAE∽△BEF；
（2）设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y．根据DC=2DF得到CF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y与x之间关系，从而求得两条线段的比．
【解析】
（1）同意．连接EF，则∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF．
∴Rt△EGF≌Rt△EDF．
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF．设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y．
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x．∴BF=BG+GF=3x．
在Rt△BCF中，BC2+GF2=BF2，即y2+x2=（3x）2．
∴y=2x
∴==；