Question

为了落实中央的惠农政策，积极推进农业机械化，黄冈市某县政府制定了农户投资购买农机设备的补贴办法，其中购买A型、B型农机设备所投资的金额x（万元）与政府补贴的金额y₁（万元）、y₂（万元）的函数关系如图所示（图中OA段是抛物线，A是抛物线的顶点）．
（1）分别写出y₁、y₂与x的函数关系式；
（2）现有一农户计划同时对A型、B型两种农机设备共投资10万元，设其共获得的政府补贴金额为y万元，求y与其购买B型设备投资金额x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．

Answer

（1）根据函数图象上的点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据y=y1+y2得出关于x的二次函数．
（3）求出二次函数最值即可．
【解析】
：（1）当0≤x≤4时设y1=kx，将（4，1.6）代入得：
1.6=4k，
解得：k=0.4，
当k＞4时，设y1=kx+b，
将点（4，1.6）（8.2.4）代入得：

解得：k=0.2，b=0.8
故y1=
∵顶点A的坐标为（4，3.2），
∴设y2=a（x-4）2+3.2，
∵经过点（0，0）
∴0=a（0-4）2+3.2
解得a=-0.2，
∴y2=-0.2（x-4）2+3.2=-0.2x2+1.6x（0≤x≤4）
当x＞4时，y2=3.2；
（2）假设投资购买B型用x万元、A型为（10-x）万元，
当0≤x≤4时：y=y1+y2=0.2（10-x）+0.8-0.2x2+1.6x；
=-0.2x2+1.4x+2.8=-0.2（x-3.5）2+3.4125，
当4＜x＜6时：y=y1+y2=0.2（10-x）+0.8+3.2=-0.2x+6；
当x≥6时：y=y1+y2=0.4（10-x）+3.2=-0.4x+7.2；
（3）当0≤x＜4时：y=-0.2x2+1.4x+2.8=-0.2（x-3.5）2+3.4125，
当4≤x＜6时：y=y1+y2=0.2（10-x）+0.8+3.2=-0.2x+6；
∵k＜0，
∴当x取得最小值时有最大值，
∴当x=4时有最大值5.2万元；
当x≥6时：y=y1+y2=0.4（10-x）+3.2=-0.4x+7.2；
∵k＜0，
∴当x取得最小值时有最大值，
∴当x=6时有最大值4.8万元；
∴当投资B型机械4万元，A型机械6万元能获得最大补贴，最大补贴金额为5.2万元．