Question

有两张完全重合的三角形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到三角形AMF（如图1），若此时他测得BD=8cm，
∠ADB=30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系，并简要说明理由；
（2）小红与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜
90°），当△AFK为等腰三角形时，求旋转角β的度数；
（3）在图2基础上小强同学继续探究，过点K作KC∥B₁D₁交AB₁于点C，连接CM，（如图3）求证：△ACM∽△AKF；
（4）若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图4），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？

Answer

（1）由旋转的性质可以证明△BAD≌△MAF．就可以得出线段BD=MF的数量关系．
（2）由条件可知∠F=30°，当∠F为顶角时，可以求出∠KAF=75°，从而求出旋转角β的度数，当∠F为底角时，可以求出∠KAF=30°，从而求出旋转角β的度数．
（3）由条件可以证明△ACK∽△AB1D1，可以得出=，由AB1=AM，AF=AD1可以得到=．再由∠B1AM=∠D1AF，就可以得出△ACM∽△AKF．从而得出结论．
（4）由题意知四边形PNA2A为矩形，设A2A=x，则PN=x．由条件根据勾股定理可以求出AF2的值，AP的值，再可以得到△DNP∽△DBA，利用相似三角形的性质就可以求出A2A的值．
（1）线段BD与MF的数量关系是：BD=MF．
证明：∵△MAF是由△BAD旋转得来的，
∴△BAD≌△MAF．
∴BD=MF．
∴BD与MF的数量关系是：BD=MF．

（2）【解析】
当∠F为顶角时，
∴∠AKF=∠KAF，
∴∠AKF+∠KAF+∠F=180°，且∠F=30°．
∴∠KAF==75°．
∴∠MAK=15°．
即β=15°．
当∠F为底角时，
∠F=∠KAF，
∵∠F=30°．
∴∠KAF=30°．
∴∠MAK=60°，即β=60°．
综上所述：当∠F为顶角时，β=15°．
当∠F为底角时，β=60°．

（3）证明：∵KC∥B1D1，
∴△ACK∽△AB1D1．
∴=．
∵△AB1D1≌△AMF，
∴AB1=AM，AF=AD1，
∴=．
∵∠B1AD1=∠MAF=90°，
∴∠B1AM=∠D1AF，
∴△ACM∽△AKF．

（4）【解析】
如图4，由题意知四边形PNA2A为矩形，设A2A=x，则PN=x．
在Rt△A2M2F2中，
∵M2F2=MF=BD=8，∠A2F2M2=∠AFM=∠ADB=30°．
∴M2A2=4，A2F2=，
∴AF2=-x．
在Rt△PAF2中，
∵∠PF2A=30°．
∴AP=AF2•tan30°=（-x）•=4-x．
∴PD=AD-AP=-4+x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，
∴△DNP∽△DBA．
∴=
∴=，
解得x=6-．
即A2A=6-．
故平移的距离是（6-）cm．