Question

如图，抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
（3）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer

（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组即可求得系数a、b的值；
（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．则S=CD•（AE+BF）=-（m-）2+，所以当m=时，S取最大值；
（3）需要分类讨论：①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．
分别求得这三种情况下的点Q的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+

（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．
∵点A（-1，0），B（4，），
∴易求直线AB的解析式为：y=x+．
又∵点D的横坐标为m，
∴点C的坐标是（m，m+），点D的纵坐标是（-m2+2m+）
∴AE=m+1，BF=4-m，CD=-m2+m+2，
∴S=CD•（AE+BF）=×（-m2+m+2）×（m+1+4-m）=-（m-）2+（-1＜m＜4）．
∴当m=时，S取最大值，此时C（，）；

（3）假设存在这样的点P、Q使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形．
∵点D是抛物线的顶点，
∴D（2，），C（2，）．
①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．
设P（x，-x2+2x+），则Q（x，x+），
∴-x2+2x+-x-=3，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（1，1）；
②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．
设P（x，-x2+2x+），则Q（x，x+），
∴x++x2-2x-=3，
解得，x=5或x=-2，
∴Q（5，3）、Q′（-2，-）；
③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．
过点P作PE⊥CD于点E，过点Q作QF⊥CD于点F．则PE=QF，DE=FC．
设P（x，-x2+2x+），则E（2，-x2+2x+），
∴Q（4-x，-x），F（2，-x），
∴由DE=CF得，-（-x2+2x+）=-x-，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（3，2）
综上所述，符合条件的点Q的坐标有：（1，1）、（5，3）、（-2，-）、（3，2）．