Question

如图，A、C在⊙O上，以OA为直径的⊙P交PC于B，且∠OAB=45°，OA=4，则弧AB、弧AC和线段BC所围的阴影部分的面积S=    ．

Answer

根据∠OAB=45°可以发现CP⊥OA．则阴影部分的面积等于直角三角形APC的面积减去扇形PAB的面积，连接OC、AC．根据线段垂直平分线的性质得到OC=OA，即可发现等边三角形AOC，从而求得∠A=60°，再由阴影部分的面积=S扇形OAC-S△OPC-S扇形PAB即可得出答案．
【解析】
连接OC、AC，

∵PA=PB，∠OAB=45°，
∴∠APB=90°，
又OP=AP，
∴OC=AC．
又OA=OC，
∴△AOC是等边三角形．
∴∠A=60°．
∵PA=2，
∴PC=2．
∴阴影部分的面积=S扇形OAC-S△OPC-S扇形PAB=-2．
故答案为：-2．