Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点，OD=OR1=6时，当R2为顶点，OR2=DR2时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可．
【解析】
（1）∵△PMN是等边三角形，
∴∠P1M1N1=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠AP10=90°，
在Rt△AP1O中，AP1=AO=2，
∴t=，即t=2；

（2）∵△BPH∽△BAO，
∴，
∴PH=，
∵cos30°=，
∴PN===8-t，

（3）当0≤t≤1时，S1=S四边形EONG，
作GH⊥OB于H，如图3，
∵∠GNH=60°，GH=2，
∴HN=2，∵PN=NB=8-t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
∴OH=4+t-2=2+t，
S1=（2+t+4+t）×2
=2t+6，
∵2＞0，
∴S随t增大而增大，
当t=1时，S最大=8，
当1＜t＜2时，如图4，S2=S五边形IFONG，
作GH⊥OB于H，
∵AP2=t
∴AF=2t，
∴OF=4-2t，
∴EF=2-（4-2t）
=2t-2，
∴EI=2t-2，
∴S2=S梯形EONG-S△EFI
=2t+6-（2t-2）×（2t-2）
=-2t2+6t+4，
∵-2＜0，
∴当t=-=时
S2最大=，
当t=2时，如图5，
MP=MN=6，
N与D重合，
S3=S梯形IMNG，
=×36-×4，
=8，
∴S=，
S最大=，

（4）∵△ODR是等腰三角形，
①当D为顶点，OD=OR1=6时，
DR1=6-2＞2（不合题意舍去），
当D为顶点时，R1不存在，
此时R1不存在，使△ODR是等腰三角形，
②当R2为顶点，OR2=DR2时，
R2在EC的中点处，
∵AO=4，∠B=30°，
∴BO=12，
∵D为OB中点，
∴DO=EC=6，
∴ER2=3，
∵OB=12，∠B=30°，
∴OP2=6，
∴R2P2=3，
∴ER2=P2R2=3，
∴CP2=3，
∴AP2=4-3=，
t2==1，
③当O为等腰三角形顶角的顶点时，
CR3=6-2，
CP3=××2=6-6，
AP3=4-（6-6），
=6-2，
∴t3==2-2＞2（不合题意舍去）．
综上所述：t=1时，△ODR是等腰三角形．