Question

如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需______元；
探究2：如果木板边长为1米，当FC的长为多少时，一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？
探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省．

Answer

（1）首先求出正方形EGFC和三角形ABE的面积，再求出剩余的面积，用个面积乘以所需费用，
（2）设EF=x，BF=（1-x）m，总费用为y元，用x表示出正方形EGFC和三角形ABE的面积，用x表示总费用，求出其最值；
（3）同（2）一样，设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，得到y=20x2-20ax+60a2，当x=a时，y有最小值，即墙纸费用最省．
【解析】
（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S△ABE=×2×1=1，S正方形EFCG=1，S空白=4-1-1=2，
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；

（2）设EF=xm，BF=（1-x）m，总费用为y元，
正方形EGFC的面积=x2，△ABE的面积=，
则空白面积为：1-x2-，
故总费用为：y=60x2+80×+40×（1-x2-）
=20x2-20x+60=20（x-）2+55，
故当x=时，总费用最省为55；

（3）设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，
∴S△ABE=•（a-x）•a=（a2-ax），S正方形EFCG=x2，S空白=a2-（a2-ax）-x2=-x2+ax+a2，
∴y=（a2-ax）×80+x2•60+（-x2+ax+a2）•40
=20x2-20ax+60a2=20（x-a）2+55a2，
故当x=a时，y有最小值，即墙纸费用最省，
答：当正方形EFCG的边长为a时墙纸费用最省．