Question

如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=3，AD=1，BC=6，∠A=∠B=90°．设动点P、Q、R在梯形的边上，始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形，且△PQR的一边与梯形ABCD的两底平行．
（1）当点P在AB边上时，在图中画出一个符合条件的△PQR （不必说明画法）；
（2）当点P在BC边或CD边上时，求BP的长．

Answer

（1）根据平行线的性质，就可以画出一个符合条件的三角形．
（2）分两种情况进行讨论，当P在CD边上时，由题意，PR∥BC，设PR=x．可证四边形PRBQ是正方形，由条件证明△CPQ∽△CDE，可以求出PR的值，再解直角三角形就可以求出BP的值；当P在BC边上，依题意可知RQ∥BC．，过Q作QF⊥BC，易证△BRP≌△FQP，则PB=PF．易证四边形BFQR是矩形，可以证明△CQF∽△CDE，从而得出结论．
【解析】
（1）如图△PQR是符合条件的三角形．

（2）①当P在CD边上时，由题意，PR∥BC，设PR=x．可证四边形PRBQ是正方形，
∴PR=PQ=BQ=x．
过D点作DE∥AB，交BC于E，易证四边形ABED是矩形．
∴AD=BE=1，AB=DE=3．又 PQ∥DE，
∴△CPQ∽△CDE，∴．
∴，

∴x=，即BP=．
②当P在BC边上，依题意可知RQ∥BC．
过Q作QF⊥BC，易证△BRP≌△FQP，则PB=PF．
易证四边形BFQR是矩形，
设BP=x，则BP=BR=QF=PF=x，BF=RQ=2x．
∵QF∥DE，
∴△CQF∽△CDE，
∴，
∴，
∴x=．