Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC，垂足为E，与CD交于F，H是BC边的中点，F是CD边的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：
①BF=AC；②CE=BF；③S_{四边形ADGE}=S_{四边形GHCE}；④CE=BG，
其中正确的结论有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

推出BD=DC，证△BDF≌△CDA，推出BF=AC，证△ABE≌△CBE推出CE=AE，即可判断①②，推出△ABE的面积和△CBE的面积相等，四边形ADGE的面积＜四边形EGHC的面积，即可判断③，过F作FM垂直BC交BC于M，求出△BDC是等腰直角三角形，推出FM是△CDH的中位线，得出FM垂直平分HC，求出BG：BF=1：=，CE：BF=，得出BG：CE=4：3，即可判断④．

【解析】
∵CD⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=45°=∠ABC，
∴BD=DC，
∵∠BDC=∠CEF=90°，∠DFB=∠EFC，
∴由三角形内角和定理得：∠DBF=∠ACD，
∵在△BDF和△CDA中

∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，∴①正确；
∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB，
∵在△ABE和△CBE中

∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE=AC，
∵AC=BF，
∴CE=BF，∴②正确；
∵BE⊥AC，CE=AE，
∴△ABE的面积和△CBE的面积相等，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，
∴FD=FM，
∴DG=FM，
从图可知，FM＞GH，
∴DG＞GH，
∴△BGD的面积大于△BHG的面积，
即四边形ADGE的面积＜四边形EGHC的面积，∴③错误；

过F作FM垂直BC交BC于M，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∵F是CD的中点，FM⊥BC，
∴FM是△CDH的中位线，
∴FM垂直平分HC，
则BG：BF=1：=，CE：BF=，所以BG：CE=4：3，故④错误；
故选B．