Question

如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．

（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是______．证明：
（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是______．证明：
（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是______．（写出关系式，不必证明）

Answer

本题需要寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质依次推理得出结论．
证明：（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（2）【解析】
EF=EG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴=，
即EM=CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴=
∴EN=AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴==1，
∴=1×=，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴==，
即EF=EG；

（3）EF=EG．