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如图,以AB为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连接PC交AB于点E,且∠AC...

如图,以AB为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连接PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=1:2,求AE:EB:BD的值(请你直接写出结果);
(3)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CE•CP的值.

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(1)连OP,根据圆周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°,则∠PAO=∠APO=30°,利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°,则∠APD=180°-30°-30°=120°,于是得到∠OPD=120°-30°=90°,根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线; (2)连BC,由AB为直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°,利用:=1:2,则∠ABC=2∠BAC,所以有∠BAC=30°,∠ABC=60°,而∠PAE=30°,得到AE垂直平分PC,设BE=x,然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE:EB:BD的值; (3)根据圆周角定理由弧AC=弧BC,得到∠CAB=∠APC,OC⊥AB,根据相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA,则,即AC2=PC•CE,利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8,即可得到CE•CP的值. 【解析】 (1)PD与⊙O相切.理由如下: 连接OP, ∵∠ACP=60°, ∴∠AOP=120°, 而OA=OP, ∴∠PAO=∠APO=30°, ∵PA=PD, ∴∠D=∠PAD=30°, ∴∠APD=180°-30°-30°=120°, ∴∠OPD=120°-30°=90°, ∵OP为半径, ∴PD是⊙O的切线; (2)连BC, ∵AB为直径, ∴∠ACB=90°, ∵:=1:2, ∴∠ABC=2∠BAC, ∴∠BAC=30°,∠ABC=60°, 而∠PAE=30°, ∴∠APE=∠DPE=60°, ∴AE垂直平分PC,如图, 设BE=x,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,则BC=2BE=2x, 在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=2BC=4x, ∴AE=AB-BE=3x, ∵PA=PD,PE⊥AD, ∴AE=DE, ∴DB=3x-x=2x, ∴AE:EB:BD的值为3:1:2; (3)如图,连接OC, ∵弧AC=弧BC,CO⊥AD, ∴∠CAB=∠APC,OC⊥AB, 而∠C=∠C, ∴△ACE∽△PCA, ∴,即AC2=PC•CE, ∵A02+OC2=AC2=8, ∴PC•CE=AC2=8.
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考点分析:
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为节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计量,将居民的每月生活用水水价分为三个等级:一级20立方米及以下,二级21~30立方米(含30立方米),三级31立方米及以上,以下是王聪家水费发票的部分信息:
浙江省××市自来水总公司水费专用
发票联
计费日期:2011-07-01至2011-08-01                    付款期限:
上期抄见数本期抄见数加原表用水量(吨)本期用水量(吨)
88992435
自来水费(含水资源费)污水处理费
用水量(吨)单价元(/吨)金额(元)用水量(吨)单价元(/吨)金额(元)
阶梯一201.3026.00200.5010.00
阶梯二10manfen5.com 满分网19.00100.505.00
阶梯三5manfen5.com 满分网15.0050.502.50
本期实付金额(大写)柒拾柒元伍角整                        77.50(元)
(注:居民生活用水水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费)
(1)从以上信息可知,水费的收费标准(含污水处理费)是:每月用水20吨及以内为______元/吨,每月用水21~30吨(含30吨)为______元/吨,31立方米及以上为______元/吨.2.9
(2)随着气温的降低,王聪家的用水量也在逐步下降,已知2012年2月份王聪家所缴的水费为55.20元,请你计算王聪家该月份的用水量为多少吨.
(3)2012年4月1日起,该市水价在现有的基础上上调了10%,为了节省开支,王聪家决定把每月水费控制在家庭月收入的1.5%以内,若王聪家的月收入为5428元,则王聪家每月的用水量最多只能用多少立方米(精确到1立方米).
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从“中国环境保护部数据中心”获得某市环保监测站提供的资料,从中随机抽取了今年1~3月份中的30天的空气污染指数(API)如下:
64,100,61,60,59,108,78,63,101,63,69,69,104,72,45,54,75,57,78,87,124,115,98,87,78,86,106,70,79,73.
空气质量级别表
空气污染
指  数
0~5051~100101~150151~200201~250251~300300以上
空气质量
级  别
I级Ⅱ级Ⅲ(1)级Ⅲ(2)级Ⅳ(1)级Ⅳ(1)级Ⅴ级
空气质量
状  况
轻微污染轻度污染中度污染中度重
污  染
重  度
污  染
请你根据空气质量级别表和上述空气污染指数,解答以下问题:
(1)填写频率分布表中未完成的空格;
分  组频数统计频  数频  率
0~50manfen5.com 满分网10.03
51~100manfen5.com 满分网23
101~150manfen5.com 满分网6
合  计30301.00
(2)写出统计数据中的中位数、众数;
(3)利用以上信息,试估计该市今年(按360天计算)空气质量是优良(包括Ⅰ、Ⅱ级)的天数.
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(1)求k的值;
(2)求点D的坐标.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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