Question

如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC=2，E，F分别为AC，AB的中点，连接EF．现将一把直角尺放在给出的图形上，使直角顶点P在线段EF（包括端点）上滑动，直角的一边始终经过点C，另一边与BF相交于G，连接AP．
（1）求证：PC=PA=PG；
（2）设EP=x，四边形BCPG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，现有三个数，，试通过计算说明哪几个数符合y值的要求，并求出符合y值时的x的值；
（3）当直角顶点P滑动到点F时，再将直角尺绕点F顺时针旋转，两直角边分别交AC，BC于点M，N，连接MN．当旋转到使时，求△APM的周长．

Answer

（1）由E，F分别是AC，AB的中点，可得到EF是三角形的中位线，所以EF的长可求，根据垂直平分线的性质可证明AP=PC，再证明PA=PG即可证明：PC=PA=PG；
（2）过G作PF的垂线，垂足为H，首先证明Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），再进一步得到y和x的函数关系式为，或，因为0≤x＜1，所以1＜y≤．所以，不符合，所以只有，把代入计算求出符合题意的x值即可；
（3）连接CP，则CP⊥AB，因为AP=CP，∠A=∠PCN=45°，所以∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，所以∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），所以AM=CN，则CM=BN，AM=CN=x，则CM=2-x，利用勾股定理进而得到关于x的方程，求出x的值即可求出△APM的周长．
【解析】
（1）∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF=，EF∥BC，
∴EF垂直平分AC，
∴AP=PC，
∴∠ECP=∠EAP；
∵∠CPG=90°，
∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC，
∴∠ECP=∠GPF．
∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，
∠EAP+∠PAF=45°，
∴∠PGF=∠PAF．
∴PA=PG，
∴PA=PG=PG；

（2）过G作PF的垂线，垂足为H，（如图1）
∵∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°
∴∠ECP=∠HPG，PC=PG．
则Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），
∴GH=PE=x，
∴，
∴，或，
∵0≤x＜1，
∴1＜y≤．∴，不符合，
所以只有，
∴，4x2-8x+3=0，解得，，＞1（舍去），
答当时，y的值为．
或①当时，，△＜0，方程无实数解；
②当时，4x2-8x+3=0，解得，，＞1（舍去），
所以当时，y的值为．
③当时，，解得＜0（舍去），＞1（舍去），所以不符合．

（3）连接CP，则CP⊥AB，（如图2，3）
∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，
∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，
∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），
∴AM=CN，
则CM=BN，AM=CN=x，则CM=2-x，，
解得，，，即或；
∴，，
∴周长为或．