Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=，∠B=45°，动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发，沿C→D→A，以同样速度向终点A运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）求线段BC的长度；
（2）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，△MCN的面积S最大，并求出最大面积；
（3）试探索：当M，N在运动过程中，△MCN是否可能为等腰三角形？若可能，则求出相应的t值；若不可能，说明理由．

Answer

（1）根据已知作出AE⊥BC，DF⊥BC，进而得出EF=AD=3；由勾股定理得出CF的长即可得出答案；
（2）首先利用当0≤t≤5时，得出△NGC∽△DFC进而得出，再利用当5≤t≤8时得出s与t的关系式求出即可；
（3）从当MC=NC时，当MN=NC时，当MN=MC时，分别分析得出即可．
【解析】
（1）如图1，
分别过A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分别交BC于E，F；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=；
∴BE=AE=DF=4．（1分）
在Rt△DFC中，
CF=；（2分）
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）

（2）①如图2，
当0≤t≤5时，CN=BM=t，
MC=10-t；
过N作NG⊥于BC于点G；∴△NGC∽△DFC
∴，即；
∴NG=；
∴S=；
∵，函数开口向下；
∴当时，Smax=10；（5分）
②如图3，
当5≤t≤8时，S=；
∵-2＜0，即S随t的减小而增大；
∴当t=5时，Smax=10；（6分）
综上：，
当t=5时，△MCN的面积S最大，最大值为10；

（3）当0≤t≤5时：CN=BM=t，MC=10-t；
①当MC=NC时，t=10-t，解得：t=5；（7分）
②当NM=NC时，如图4，
过N作NH⊥BC于点H，
则有HC=MH，可得：，
解得：；（8分）
③当MN=MC时，如图4，

过M作MI⊥CD于I，CI=，又，
即：，可得，解得：（舍去）；（9分）
当5＜t≤8时，如图5，
过C作CJ⊥AD的延长线于点J，过N作NK⊥BC于点K；
则：MC2=（10-t）2=t2-20t+100；MN2=（12-2t）2+42=4t2-48t+160；NC2=（t-2）2+42=t2-4t+20；
④当MC=NC时，t2-20t+100=t2-4t+20，解得：t=5（舍去）；（10分）
⑤当MN=MC时，4t2-48t+160=t2-20t+100，
解得：（舍去）；（11分）
⑥当MN=NC时，t2-4t+20=4t2-48t+160，
解得：（舍去）．（12分）
综上：当时，△MCN为等腰三角形．